13) Решить уравнение: \( \sqrt{3x + 4} - \sqrt{x - 4} = 2\sqrt{x} \).

Решение:

Перенесем \( \sqrt{x-4} \) в правую часть:

\[ \sqrt{3x + 4} = 2\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} \]

Возведем обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{3x + 4})^2 = (2\sqrt{x} + \sqrt{x - 4})^2 \]

\[ 3x + 4 = (2\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 4} + (\sqrt{x - 4})^2 \]

\[ 3x + 4 = 4x + 4\sqrt{x(x - 4)} + x - 4 \]

\[ 3x + 4 = 5x - 4 + 4\sqrt{x^2 - 4x} \]

Сгруппируем члены:

\[ 4\sqrt{x^2 - 4x} = 3x + 4 - 5x + 4 \]

\[ 4\sqrt{x^2 - 4x} = -2x + 8 \]

Разделим обе части на 2:

\[ 2\sqrt{x^2 - 4x} = -x + 4 \]

Снова возведем обе части в квадрат:

\[ (2\sqrt{x^2 - 4x})^2 = (-x + 4)^2 \]

\[ 4(x^2 - 4x) = x^2 - 8x + 16 \]

\[ 4x^2 - 16x = x^2 - 8x + 16 \]

Перенесем все в одну часть:

\[ 4x^2 - x^2 - 16x + 8x - 16 = 0 \]

\[ 3x^2 - 8x - 16 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 \).

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 16}{6} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{8 + 16}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{8 - 16}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]

Проверим корни. Для \( x = 4 \): \( \sqrt{3(4) + 4} - \sqrt{4 - 4} = \sqrt{16} - \sqrt{0} = 4 \). Правая часть: \( 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4 \). Корень \( x=4 \) подходит.

Для \( x = -4/3 \) выражение \( \sqrt{x-4} \) не имеет смысла в действительных числах.

Ответ: 4.