17) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6м, а её высота-4м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании.

1. Сторона основания \( a = 6 \text{ м} \).

2. Высота пирамиды \( h = 4 \text{ м} \).

3. Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ м}^2 \).

4. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно знать апофему (высоту боковой грани). Апофема \( l \) является катетом в прямоугольном треугольнике, где второй катет — высота пирамиды \( h \), а гипотенуза — отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания. Этот отрезок равен половине стороны основания, т.е. \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) м.

5. Найдем апофему \( l \) по теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \).

\[ l = \sqrt{25} = 5 \text{ м} \]

6. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна полупериметру основания, умноженному на апофему:

\[ P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ м} \]

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ м} \cdot 5 \text{ м} = 12 \text{ м} \cdot 5 \text{ м} = 60 \text{ м}^2 \]

7. Площадь полной поверхности \( S_{полн} \) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 \text{ м}^2 + 60 \text{ м}^2 = 96 \text{ м}^2 \]

Ответ: 96 м².