6) Вычислить \( \int_{0}^{1} 7^x dx \).

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{0}^{1} 7^x dx \) найдем первообразную функции \( 7^x \).

Первообразная от \( a^x \) равна \( \frac{a^x}{\ln a} \).

В нашем случае \( a = 7 \), поэтому первообразная равна \( \frac{7^x}{\ln 7} \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{0}^{1} 7^x dx = \left[ \frac{7^x}{\ln 7} \right]_{0}^{1} = \frac{7^1}{\ln 7} - \frac{7^0}{\ln 7} = \frac{7}{\ln 7} - \frac{1}{\ln 7} = \frac{6}{\ln 7} \]

Ответ: \( \frac{6}{\ln 7} \).