12. Найдите точку максимума функции y = log13(7-x²-5x) - 1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ) для функции. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( 7 - x^2 - 5x > 0 \).
2. Шаг 2: Преобразуем неравенство: \( x^2 + 5x - 7 < 0 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 5x - 7 = 0 \). Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-7) = 25 + 28 = 53 \). Корни: \( x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{53}}{2} \).
3. Шаг 3: Так как ветви параболы \( y = x^2 + 5x - 7 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 + 5x - 7 < 0 \) выполняется для \( x \) между корнями: \( \frac{-5 - \sqrt{53}}{2} < x < \frac{-5 + \sqrt{53}}{2} \).
4. Шаг 4: Функция \( y = \log_{13} u \) возрастает, следовательно, максимум \( y \) достигается при максимуме аргумента \( u = 7 - x^2 - 5x \). Аргумент является параболой с ветвями, направленными вниз. Максимум параболы достигается в вершине.
5. Шаг 5: Найдем координату \( x \) вершины параболы \( u(x) = -x^2 - 5x + 7 \) по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = -1 \) и \( b = -5 \).
   \( x_v = -\frac{-5}{2(-1)} = -\frac{-5}{2} = 2,5 \).
6. Шаг 6: Проверим, попадает ли \( x = 2,5 \) в ОДЗ. \( \sqrt{53} \approx 7,28 \).
   \( \frac{-5 - 7,28}{2} \approx -6,14 \) и \( \frac{-5 + 7,28}{2} \approx 1,14 \).
   Значение \( x = 2,5 \) не попадает в интервал \( (-6,14; 1,14) \), следовательно, в указанной области функция не имеет максимума.
7. Шаг 7: Перечитав условие, видим, что требуется найти точку максимума функции, а не максимальное значение. У параболы \( y = -x^2 - 5x + 7 \), ветви которой направлены вниз, вершина является точкой максимума. Координата X вершины параболы равна \( x = -\frac{-5}{2(-1)} = 2,5 \).
8. Шаг 8: Проверим, что при \( x = 2,5 \) аргумент логарифма положителен: \( 7 - (2,5)^2 - 5(2,5) = 7 - 6,25 - 12,5 = 7 - 18,75 = -11,75 \). Аргумент отрицателен, что не соответствует ОДЗ.
9. Шаг 9: Пересмотрим задачу. Функция \( y = ext{log}_{13}(7 - x^2 - 5x) - 1 \). Функция \( ext{log}_{13}(u) \) возрастает. Максимум \( y \) достигается, когда \( u = 7 - x^2 - 5x \) максимально. Функция \( u(x) = -x^2 - 5x + 7 \) — парабола с ветвями вниз. Её максимум достигается в вершине \( x_v = -\frac{-5}{2(-1)} = 2.5 \). Найдем значение аргумента в этой точке: \( u(2.5) = 7 - (2.5)^2 - 5(2.5) = 7 - 6.25 - 12.5 = -11.75 \). Однако, аргумент логарифма должен быть больше 0. Значит, в этой точке логарифм не определен.
10. Шаг 10: Заметим, что условие задачи может подразумевать нахождение точки, где аргумент логарифма имеет максимум, при условии, что этот максимум находится в области определения. Похоже, в условии задачи есть ошибка, так как максимум параболы дает отрицательное значение аргумента.
11. Шаг 11: Предположим, что задача имела в виду другую функцию или диапазон. Если рассматривать функцию \( y = -(x-x_0)^2 + C \), то максимум достигается при \( x = x_0 \). В нашем случае \( y = -(x^2 + 5x) + 7 \). Выделим полный квадрат: \( y = -(x^2 + 5x + 6.25 - 6.25) + 7 = -(x+2.5)^2 + 6.25 + 7 = -(x+2.5)^2 + 13.25 \). Максимум достигается при \( x = -2.5 \).
12. Шаг 12: Проверим ОДЗ для \( x = -2.5 \): \( 7 - (-2.5)^2 - 5(-2.5) = 7 - 6.25 + 12.5 = 13.25 \). Это значение положительно, поэтому \( x = -2.5 \) является точкой, где аргумент логарифма достигает своего максимального значения в области определения.

Ответ: x = -2.5