15. Решите неравенство (25^x - 9 \cdot 5^x + 18) / (25^x - 8 \cdot 5^x + 15) <= (5^x - 7) / (5^x - 5) + 1 / (5^x - 6)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть \( y = 5^x \). Так как \( 5^x > 0 \), то \( y > 0 \). Тогда \( 25^x = (5^x)^2 = y^2 \). Неравенство примет вид:
   \( \frac{y^2 - 9y + 18}{y^2 - 8y + 15} \le \frac{y - 7}{y - 5} + \frac{1}{y - 6} \).
2. Шаг 2: Разложим квадратные трехчлены на множители:
   \( y^2 - 9y + 18 = (y - 3)(y - 6) \).
   \( y^2 - 8y + 15 = (y - 3)(y - 5) \).
3. Шаг 3: Подставим разложения в неравенство:
   \( \frac{(y - 3)(y - 6)}{(y - 3)(y - 5)} \le \frac{y - 7}{y - 5} + \frac{1}{y - 6} \).
4. Шаг 4: Учтем, что \( y
   eq 3 \) (так как \( 5^x \) не может быть равно 3, если \( x \) не равно \( ext{log}_5 3 \)). Сокращаем \( (y-3) \):
   \( \frac{y - 6}{y - 5} \le \frac{y - 7}{y - 5} + \frac{1}{y - 6} \).
5. Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону:
   \( \frac{y - 6}{y - 5} - \frac{y - 7}{y - 5} - \frac{1}{y - 6} \le 0 \).
6. Шаг 6: Приведем к общему знаменателю \( (y - 5)(y - 6) \):
   \( \frac{(y - 6)^2 - (y - 7)(y - 6) - (y - 5)}{(y - 5)(y - 6)} \le 0 \).
7. Шаг 7: Раскроем скобки в числителе:
   \( (y^2 - 12y + 36) - (y^2 - 6y - 7y + 42) - (y - 5) \).
   \( y^2 - 12y + 36 - y^2 + 13y - 42 - y + 5 \).
   \( (-12 + 13 - 1)y + (36 - 42 + 5) = 0y - 1 = -1 \).
8. Шаг 8: Неравенство примет вид:
   \( \frac{-1}{(y - 5)(y - 6)} \le 0 \).
9. Шаг 9: Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
   \( \frac{1}{(y - 5)(y - 6)} \ge 0 \).
10. Шаг 10: Это неравенство выполняется, когда знаменатель положителен: \( (y - 5)(y - 6) > 0 \).
11. Шаг 11: Решаем методом интервалов. Корни: \( y = 5 \) и \( y = 6 \).
    Интервалы: \( (-\infty, 5) \), \( (5, 6) \), \( (6, \infty) \).
    Выражение \( (y - 5)(y - 6) > 0 \) выполняется для \( y < 5 \) или \( y > 6 \).
12. Шаг 12: Учитываем ограничения: \( y > 0 \), \( y
    eq 3 \), \( y
    eq 5 \), \( y
    eq 6 \).
    Получаем: \( 0 < y < 5 \) и \( y > 6 \).
13. Шаг 13: Вернемся к переменной \( x \), где \( y = 5^x \).
    \( 0 < 5^x < 5 \) \( \Rightarrow \) \( 5^x < 5^1 \) \( \Rightarrow \) \( x < 1 \).
    \( 5^x > 6 \) \( \Rightarrow \) \( x > \log_5 6 \).
14. Шаг 14: Также нужно учесть, что \( y
    eq 3 \), то есть \( 5^x
    eq 3 \), \( x
    eq \log_5 3 \).
15. Шаг 15: Объединяем все условия: \( x < 1 \), \( x
    eq \log_5 3 \) и \( x > \log_5 6 \).
16. Шаг 16: Так как \( ext{log}_5 3 < 1 \), то \( x < 1 \) и \( x
    eq \log_5 3 \) означает \( x \in (-\infty, \log_5 3) \cup (\log_5 3, 1) \).
17. Шаг 17: Окончательный ответ: \( x \in (-\infty, \log_5 3) \cup (\log_5 3, 1) \cup (\log_5 6, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, \log_5 3) \cup (\log_5 3, 1) \cup (\log_5 6, \infty) \)