14. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. На ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ = 5. Через точки М и В1 проведена плоскость α, параллельная диагонали А1С. а) Докажите, что C1N : ND1 = 1 : 4, где N — точка пересечения плоскости α с ребром C1D1. б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем систему координат. Пусть вершина C совпадает с началом координат (0,0,0). Ребро CD по оси x, ребро CB по оси y, ребро CC1 по оси z. Тогда координаты вершин куба: C(0,0,0), D(6,0,0), B(0,6,0), C1(0,0,6), A1(6,6,6), D1(6,0,6), B1(0,6,6).
2. Шаг 2: Точка M на ребре CC1, CM = 5. Координаты M: (0,0,5).
3. Шаг 3: Плоскость α проходит через точки M(0,0,5) и B1(0,6,6).
4. Шаг 4: Диагональ A1C имеет вектор \( \vec{A_1C} = C - A_1 = (0-6, 0-6, 0-6) = (-6, -6, -6) \). Направление диагонали — \( (1, 1, 1) \).
5. Шаг 5: Плоскость α параллельна диагонали A1C. Это означает, что вектор \( \vec{A_1C} \) параллелен плоскости α.
6. Шаг 6: Пусть уравнение плоскости α имеет вид \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Нормаль к плоскости \( \vec{n} = (A, B, C) \). Так как плоскость параллельна вектору \( \vec{A_1C} \), то скалярное произведение нормали и вектора равно нулю: \( \vec{n} \cdot \vec{A_1C} = -6A - 6B - 6C = 0 \), что упрощается до \( A + B + C = 0 \).
7. Шаг 7: Плоскость проходит через точку M(0,0,5). Подставляем координаты M в уравнение плоскости: \( A(0) + B(0) + C(5) + D = 0 \), то есть \( 5C + D = 0 \), откуда \( D = -5C \).
8. Шаг 8: Плоскость проходит через точку B1(0,6,6). Подставляем координаты B1: \( A(0) + B(6) + C(6) + D = 0 \), то есть \( 6B + 6C + D = 0 \).
9. Шаг 9: Подставим \( D = -5C \) в последнее уравнение: \( 6B + 6C - 5C = 0 \), что дает \( 6B + C = 0 \), откуда \( C = -6B \).
10. Шаг 10: Теперь найдем A, используя \( A + B + C = 0 \) и \( C = -6B \): \( A + B + (-6B) = 0 \) \( \Rightarrow \) \( A - 5B = 0 \), откуда \( A = 5B \).
11. Шаг 11: Выберем удобное значение для B, например, \( B = 1 \). Тогда \( A = 5 \) и \( C = -6 \). D = -5C = -5(-6) = 30.
12. Шаг 12: Уравнение плоскости α: \( 5x + y - 6z + 30 = 0 \).
13. Шаг 13: Найдем точку N — пересечение плоскости α с ребром C1D1. Ребро C1D1 параллельно оси x и идет от C1(0,0,6) до D1(6,0,6). Параметрическое уравнение ребра: \( x = t, y = 0, z = 6 \), где \( 0 \le t \le 6 \).
14. Шаг 14: Подставим координаты точки N(t, 0, 6) в уравнение плоскости: \( 5(t) + 0 - 6(6) + 30 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 5t - 36 + 30 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 5t - 6 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( t = \frac{6}{5} = 1,2 \).
15. Шаг 15: Координаты точки N: (1.2, 0, 6).
16. Шаг 16: Ребро C1D1 имеет длину 6. Точка C1 имеет координату (0,0,6) (если считать от C1), D1 (6,0,6). Точка N находится на расстоянии 1.2 от C1 по ребру C1D1.
17. Шаг 17: C1N = 1.2. ND1 = C1D1 - C1N = 6 - 1.2 = 4.8.
18. Шаг 18: Отношение C1N : ND1 = 1.2 : 4.8 = 12 : 48 = 1 : 4. Пункт а) доказан.
19. Шаг 19: б) Найдем угол между плоскостями α и BCC1. Угол между плоскостями — это угол между их нормалями.
20. Шаг 20: Нормаль к плоскости α: \( \vec{n_α} = (5, 1, -6) \).
21. Шаг 21: Плоскость BCC1. Векторы, лежащие в плоскости: \( \vec{CB} = (0, 6, 0) \) и \( \vec{CC_1} = (0, 0, 6) \). Нормаль к плоскости BCC1 можно найти как векторное произведение:
    \( \vec{n_{BCC1}} = \vec{CB} \times \vec{CC_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = i(36-0) - j(0-0) + k(0-0) = (36, 0, 0) \).
22. Шаг 22: Для удобства, можно взять более простой вектор нормали, параллельный (36, 0, 0), например, (1, 0, 0).
23. Шаг 23: Найдем угол θ между нормалями \( \vec{n_α} = (5, 1, -6) \) и \( \vec{n_{BCC1}} = (1, 0, 0) \) по формуле:
    \( ext{cos}( heta) = rac{|\vec{n_α}  \vec{n_{BCC1}}|}{|\vec{n_α}| |\vec{n_{BCC1}}|} \).
24. Шаг 24: Скалярное произведение: \( \vec{n_α}  \vec{n_{BCC1}} = (5)(1) + (1)(0) + (-6)(0) = 5 \).
25. Шаг 25: Модули векторов:
    \( |\vec{n_α}| = √{5^2 + 1^2 + (-6)^2} = √{25 + 1 + 36} = √{62} \).
    \( |\vec{n_{BCC1}}| = √{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \).
26. Шаг 26: \( ext{cos}( heta) = rac{|5|}{√{62}  1} = rac{5}{√{62}} \).
27. Шаг 27: Угол между плоскостями равен \( heta = ext{arccos}\rac{5}{√{62}} \).

Ответ: а) C1N : ND1 = 1 : 4; б) Угол равен \( ext{arccos}\rac{5}{√{62}} \).