13. а) Решите уравнение (3^x - 4)² - 13|3^x - 4| = 15. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [1; 5].

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть \( y = |3^x - 4| \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 13y - 15 = 0 \).
2. Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Используем формулу дискриминанта: \( D = (-13)^2 - 4(1)(-15) = 169 + 60 = 229 \). Корни: \( y_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{229}}{2} \).
3. Шаг 3: Так как \( y = |3^x - 4| \), то \( y \) должен быть неотрицательным. \( \sqrt{229} \) приблизительно равно 15.13.
   \( y_1 = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} > 0 \).
   \( y_2 = \frac{13 - \sqrt{229}}{2} < 0 \), поэтому этот корень не подходит.
4. Шаг 4: Теперь решаем уравнение \( |3^x - 4| = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} \). Это означает, что \( 3^x - 4 = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} \) или \( 3^x - 4 = -\frac{13 + \sqrt{229}}{2} \).
5. Шаг 5: Решим первое уравнение: \( 3^x = 4 + \frac{13 + \sqrt{229}}{2} = \frac{8 + 13 + \sqrt{229}}{2} = \frac{21 + \sqrt{229}}{2} \).
   \( x = \log_3\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right) \).
6. Шаг 6: Решим второе уравнение: \( 3^x = 4 - \frac{13 + \sqrt{229}}{2} = \frac{8 - 13 - \sqrt{229}}{2} = \frac{-5 - \sqrt{229}}{2} \). Так как \( 3^x \) всегда положительно, это уравнение не имеет решений.
7. Шаг 7: Для пункта б) проверим, принадлежит ли найденный корень отрезку [1; 5].
   \( x = \log_3\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right) \).
   \( \frac{21 + \sqrt{229}}{2} \approx \frac{21 + 15.13}{2} \approx \frac{36.13}{2} \approx 18.065 \).
   \( x \approx \log_3(18.065) \).
   \( 3^2 = 9 \), \( 3^3 = 27 \). Следовательно, \( x \) находится между 2 и 3.
8. Шаг 8: Так как \( 2 < x < 3 \), то \( x \) принадлежит отрезку [1; 5].

Ответ: а) \( x = \log_3\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right) \); б) \( x = \log_3\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right) \)