12. Найти производную f(x) = 2e²ˣ⁺¹ + 5sin2x

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = 2e^{2x+1} + 5\sin(2x) \) по правилам дифференцирования.

1. Производная суммы равна сумме производных: \( f'(x) = (2e^{2x+1})' + (5\sin(2x))' \).
2. Для производной \( 2e^{2x+1} \) используем правило дифференцирования сложной функции (производная \( e^u \) равна \( e^u \cdot u' \)): \( (2e^{2x+1})' = 2 \cdot e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = 2 \cdot e^{2x+1} \cdot 2 = 4e^{2x+1} \).
3. Для производной \( 5\sin(2x) \) используем правило дифференцирования сложной функции (производная \( \sin(u) \) равна \( \cos(u) \cdot u' \)): \( (5\sin(2x))' = 5 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 5 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 10\cos(2x) \).
4. Соберем все вместе: \( f'(x) = 4e^{2x+1} + 10\cos(2x) \).

Ответ: $$4e^{2x+1} + 10\cos(2x)$$