12. Основания трапеции равны 10 см и 24 см, боковые стороны — 13 см и 15 см. Найди площадь трапеции.

Разность оснований равна \(24-10=14\) см. Опустим высоты от концов меньшего основания: горизонтальные проекции боковых сторон обозначим \(x\) и \(y\). Тогда \(x+y=14\).

Из прямоугольных треугольников: \(x^2+h^2=13^2\), \(y^2+h^2=15^2\). Вычитая равенства, получаем \(y^2-x^2=56\), то есть \((y-x)(y+x)=56\). Так как \(x+y=14\), то \(y-x=4\). Отсюда \(x=5\), \(y=9\).

Высота: \(h=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см. Площадь трапеции: \(S=\dfrac{10+24}{2}\cdot12=204\) см².

Ответ: 204 см².