12. Представьте выражение (x^-1 - y^-1) (x - y)^-1 в виде рациональной дроби.

Решение:

Сначала преобразуем члены выражения, используя определение отрицательной степени (a^-n = 1/aⁿ):

\[ x^{-1} = \frac{1}{x} \]

\[ y^{-1} = \frac{1}{y} \]

\[ (x - y)^{-1} = \frac{1}{x - y} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right) \cdot \frac{1}{x - y} \]

Приведем дробь в первых скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy} \]

Теперь умножим полученную дробь на дробь \(\frac{1}{x - y}\):

\[ \frac{y - x}{xy} \cdot \frac{1}{x - y} = \frac{y - x}{xy(x - y)} \]

Заметим, что \(y - x = -(x - y)\). Подставим это в числитель:

\[ \frac{-(x - y)}{xy(x - y)} \]

Сократим \((x - y)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(x
eq y\) и \(x
eq 0\), \(y
eq 0\)):

\[ -\frac{1}{xy} \]

Ответ: -1/xy.