2. Решите уравнение: $$\log_2 (2x-1) = 3$$

Решение:

Переведем логарифмическое уравнение в экспоненциальное.

1. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
2. В нашем случае \( a = 2 \), \( c = 3 \), \( b = 2x - 1 \).
3. Подставляем значения: \( 2^3 = 2x - 1 \).
4. Вычисляем: \( 8 = 2x - 1 \).
5. Решаем линейное уравнение: \( 2x = 8 + 1 \) \( 2x = 9 \) \( x = \frac{9}{2} \) \( x = 4.5 \).
6. Проверим ОДЗ: \( 2x - 1 > 0 \). \( 2(4.5) - 1 = 9 - 1 = 8 > 0 \). ОДЗ выполняется.

Ответ: \( x = 4.5 \).