7. Найдите значение х, при которых значение производной функции f(x) = 2x³ + 3x² - 12x - 3 равно 0, если f'(x)

Решение:

Сначала найдем производную функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3 \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x - 3) \]\[ f'(x) = 2 · 3x^2 + 3 · 2x - 12 · 1 - 0 \]\[ f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 \]

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти значения \( x \), при которых она равна 0:

\[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 6:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 · 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 · 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Ответ: \( x = 1 \) и \( x = -2 \).