9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1=3+2i, z2=-1+3i

Решение:

Даны комплексные числа: \( z_1 = 3 + 2i \) и \( z_2 = -1 + 3i \).

Сумма:

\[ z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3 - 1) + (2 + 3)i = 2 + 5i \]

Разность:

\[ z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 3i) = (3 - (-1)) + (2 - 3)i = (3 + 1) + (-1)i = 4 - i \]

Произведение:

\[ z_1 · z_2 = (3 + 2i)(-1 + 3i) = 3(-1) + 3(3i) + 2i(-1) + 2i(3i) \]\[ = -3 + 9i - 2i + 6i^2 \]

Так как \( i^2 = -1 \):

\[ = -3 + 7i + 6(-1) \]\[ = -3 + 7i - 6 \]\[ = -9 + 7i \]

Частное:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 2i}{-1 + 3i} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число \( -1 - 3i \):

\[ = \frac{(3 + 2i)(-1 - 3i)}{(-1 + 3i)(-1 - 3i)} \]

Числитель: \( (3)(-1) + (3)(-3i) + (2i)(-1) + (2i)(-3i) = -3 - 9i - 2i - 6i^2 = -3 - 11i - 6(-1) = -3 - 11i + 6 = 3 - 11i \).

Знаменатель: \( (-1)^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10 \).

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 11i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{11}{10}i \]

Ответ:

• Сумма: \( 2 + 5i \)
• Разность: \( 4 - i \)
• Произведение: \( -9 + 7i \)
• Частное: \( \frac{3}{10} - \frac{11}{10}i \)