12. Решите неравенство: а) $\log_5(x-3)\ge 1$; б) $\log_{\frac12}(2x-6)>-1$; в) $\log_4\left(\frac{3x}{2}+1\right)\le 2$; г) $\log_{0{,}1}(x^2-5x+106)<-2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Решите неравенство: а) $\log_5(x-3)\ge 1$; б) $\log_{\frac12}(2x-6)>-1$; в) \(\log_4\left(\frac{3x}{2}+1\right)\le…$ Фото задания

12. Решите неравенство: а) $\log_5(x-3)\ge 1$; б) $\log_{\frac12}(2x-6)>-1$; в) $\log_4\left(\frac{3x}{2}+1\right)\le 2$; г) $\log_{0{,}1}(x^2-5x+106)<-2$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x>3$. Так как основание $5>1$, логарифмическая функция возрастает:

$\log_5(x-3)\ge 1\iff x-3\ge 5\iff x\ge 8$.

б) Область определения: $2x-6>0$, то есть $x>3$. Основание $\frac12<1$, поэтому функция убывает:

$\log_{\frac12}(2x-6)>-1\iff 0<2x-6<\left(\frac12\right)^{-1}=2$.

Отсюда \(3

в) Область определения: $\frac{3x}{2}+1>0$, то есть $x>-\frac23$. Основание $4>1$:

$\log_4\left(\frac{3x}{2}+1\right)\le 2\iff \frac{3x}{2}+1\le 16\iff x\le 10$.

г) Аргумент положителен при всех $x$, поскольку у квадратного трёхчлена $x^2-5x+106$ дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен. Основание $0{,}1<1$, поэтому знак при переходе к аргументам меняется:

$x^2-5x+106>(0{,}1)^{-2}=100\iff x^2-5x+6>0\iff (x-2)(x-3)>0$.

Ответ: а) $[8;+\infty)$; б) $(3;4)$; в) $\left(-\frac23;10\right]$; г) $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$.

12. Решите неравенство: а) \(\log_5(x-3)\ge 1\); б) \(\log_{\frac12}(2x-6)>-1\); в) \(\log_4\left(\frac{3x}{2}+1\right)\le 2\); г) \(\log_{0{,}1}(x^2-5x+106)<-2\).

Ответ: