16. Решите неравенство: а) \(\log_2 x\le\frac{2}{\log_2x-1}\); б) \(\frac{1}{1+\lg x}+\frac{1}{1-\lg x}\le2\).

а) Область определения: \(x>0\), \(\log_2x\ne1\). Положим \(t=\log_2x\). Перенесём всё в левую часть:

\(t-\frac{2}{t-1}\le0\iff\frac{(t-2)(t+1)}{t-1}\le0\).

Метод интервалов с учётом запрета \(t=1\) даёт \(t\in(-\infty;-1]\cup(1;2]\). Возвращаясь к \(x\), получаем \(x\in(0;\frac12]\cup(2;4]\).

б) Область определения: \(x>0\), \(\lg x\ne-1,1\). Пусть \(t=\lg x\). Тогда

\(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}=\frac{2}{1-t^2}\), поэтому

\(\frac{2}{1-t^2}\le2\iff\frac{2t^2}{1-t^2}\le0\).

Это выполняется при \(t=0\) или \(|t|>1\); значения \(t=\pm1\) исключены из области определения. Значит, \(x=1\), либо \(010\).

Ответ: а) \((0;\frac12]\cup(2;4]\); б) \((0;0{,}1)\cup\{1\}\cup(10;+\infty)\).