14. Решите неравенство: а) $\log_7 x+\log_7(x+1)\le\log_7 2$; б) $\log_{\frac12}(4-x)\ge\log_{\frac12}2-\log_{\frac12}(x-1)$; в) $\lg(x+2)-\lg(x-1)>1$; г) $1+\log_2(x-2)>\log_2(x^2-3x+2)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. Решите неравенство: а) $\log_7 x+\log_7(x+1)\le\log_7 2$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$. Объединим логарифмы и используем возрастание функции с основанием $7$:

$\log_7(x(x+1))\le\log_7 2\iff x^2+x-2\le 0\iff (x+2)(x-1)\le 0$.

Корни дают $[-2;1]$; с учётом области определения ответ: $(0;1]$.

б) Область определения: \(1

$4-x\le\frac{2}{x-1}\iff (4-x)(x-1)\le2\iff (x-2)(x-3)\ge0$.

Пересекаем с $(1;4)$: $(1;2]\cup[3;4)$.

в) Область определения: $x>1$. Объединим логарифмы:

$\lg\frac{x+2}{x-1}>1\iff \frac{x+2}{x-1}>10$.

Так как $x-1>0$, получаем $x+2>10x-10$, то есть $x<\frac43$. Это противоречит условию $x>1$? Пересечение, однако, непусто: \(1

г) Область определения: $x>2$. Поскольку $1=\log_2 2$, преобразуем:

$\log_2(2(x-2))>\log_2((x-1)(x-2))$.

Функция возрастает, и при $x>2$ оба аргумента положительны:

\(2(x-2)>(x-1)(x-2)\iff (x-2)(x-3)<0\iff 2

Ответ: а) $(0;1]$; б) $(1;2]\cup[3;4)$; в) $(1;\frac43)$; г) $(2;3)$.

14. Решите неравенство: а) \(\log_7 x+\log_7(x+1)\le\log_7 2\); б) \(\log_{\frac12}(4-x)\ge\log_{\frac12}2-\log_{\frac12}(x-1)\); в) \(\lg(x+2)-\lg(x-1)>1\); г) \(1+\log_2(x-2)>\log_2(x^2-3x+2)\).