15. Решите неравенство: а) \(\lg^2 x-2\lg x-3<0\); б) \(\log_2^2 x\ge9\); в) \(\log_{\frac13}^2 x+\log_{\frac13}x-6\ge0\); г) \(\log_{0{,}5}^2 x<4\).

Во всех пунктах область определения логарифма требует \(x>0\). Обозначим логарифм через новую переменную и решим полученное квадратное неравенство.

а) Пусть \(t=\lg x\). Тогда \(t^2-2t-3<0\), то есть \((t+1)(t-3)<0\), откуда \(-1

б) Пусть \(t=\log_2x\). Тогда \(t^2\ge9\), то есть \(t\le-3\) или \(t\ge3\). Поэтому \(x\le2^{-3}\) или \(x\ge2^3\), с учётом \(x>0\).

в) Пусть \(t=\log_{\frac13}x\). Тогда \(t^2+t-6\ge0\), то есть \((t+3)(t-2)\ge0\). Значит, \(t\le-3\) или \(t\ge2\). Поскольку основание \(\frac13<1\), получаем соответственно \(x\ge27\) или \(0

г) Пусть \(t=\log_{0{,}5}x\). Тогда \(t^2<4\), то есть \(-2

Ответ: а) \((0{,}1;1000)\); б) \((0;\frac18]\cup[8;+\infty)\); в) \((0;\frac19]\cup[27;+\infty)\); г) \((\frac14;4)\).