12. В параллелограмме ABCD диагональ AC; из точки на AC опущен перпендикуляр к AD длиной 4. CD = 8. Найдите ∠B + ∠CAD.

Обозначим основание перпендикуляра E. В прямоугольном треугольнике CED гипотенуза CD = 8, а катет ED = 4. Поэтому cos ∠EDC = ED / CD = 1/2, откуда ∠EDC = 60°.

Поскольку AE лежит на AC и DE ⟂ AC, в треугольнике AED угол ADE равен 90° − ∠CAD. Угол D параллелограмма состоит из углов ADE и EDC, а ∠B = ∠D. Следовательно, ∠B + ∠CAD = (90° − ∠CAD + 60°) + ∠CAD = 150°.

Ответ: 150°.