12. В параллелограмме ЕНБК биссектриса угла Е, равного 60°, пересекает сторону НБ в точке М. Отрезки ЕМ и КМ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если ЕН = 24. Запишите решение и ответ.

Обозначим \(ЕН=a=24\), \(ЕК=b\). Расположим точки в координатах: \(E=(0,0)\), \(H=(a,0)\), \(K=(b/2,-\sqrt{3}b/2)\). Так как \(НБ\parallel ЕК\), точку M можно записать как \(M=H+tK\).

Биссектриса угла E равнаудалена от сторон угла и образует с EH угол \(30^\circ\), поэтому её направление задаётся отношением координат \(y=-x/\sqrt{3}\). Подстановка координат M даёт \(tb=a\).

Условие \(ЕМ\perp КМ\) означает, что скалярное произведение направлений этих отрезков равно нулю. Подставляя координаты и используя \(tb=a\), получаем \(b=2a=48\). Значит, стороны параллелограмма равны 24 и 48.

Периметр: \(P=2(24+48)=144\).

Ответ: 144.