12. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC — боковая сторона, AD — высота (так как углы при основании A и D прямые, \( \angle DAB = \angle ABC = 90^{\circ} \)).

Однако, условие гласит, что трапеция прямоугольная, а один из углов равен \( 135^{\circ} \). Это возможно, если один из углов при боковой стороне равен \( 135^{\circ} \).

Пусть основания \( a = 7 \text{ м} \) и \( b = 4 \text{ м} \). Большее основание — \( a = 7 \), меньшее — \( b = 4 \).

В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне равен \( 90^{\circ} \), а другой — \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (если боковая сторона перпендикулярна основаниям). Если один из углов \( 135^{\circ} \), то это означает, что боковая сторона не перпендикулярна основаниям, и трапеция является произвольной, но с одним прямым углом.

Пусть \( AB \) и \( CD \) — основания, \( AD \) — высота, \( BC \) — боковая сторона.

Пусть \( AB = 7 \) (большее основание) и \( CD = 4 \) (меньшее основание).

Угол \( \angle ADC = 90^{\circ} \) (прямоугольная трапеция).

Если \( \angle BCD = 135^{\circ} \), то \( \angle ABC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \) (как углы, прилежащие к боковой стороне).

Проведём из вершины \( C \) высоту \( CE \) к основанию \( AB \). Тогда \( CE = AD \) (высота трапеции) и \( EB = CD = 4 \).

Из \( \triangle CEB \) мы знаем, что \( \angle CEB = 90^{\circ} \) и \( \angle CBE = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle CBE = 45^{\circ} \), то \( \triangle CEB \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \( CE = EB \).

Мы знаем, что \( AB = AE + EB \). Также \( AE = CD = 4 \).

\( AB = 7 \) и \( EB = 4 \) (так как \( CE = AE \)).

\( AB = AE + EB \)

\( 7 = 4 + EB \) => \( EB = 3 \).

Так как \( \triangle CEB \) равнобедренный, то \( CE = EB = 3 \).

Высота трапеции \( AD = CE = 3 \).

Меньшая боковая сторона — это \( CD = 4 \) (если \( BC \) — другая боковая сторона).

Рассмотрим другой случай: пусть \( \text{один из углов} = 135^{\circ} \) — это угол при большем основании.

Пусть \( AB = 7 \) (большее основание) и \( CD = 4 \) (меньшее основание).

\( \angle DAB = 90^{\circ} \) (прямоугольная трапеция).

Пусть \( \angle ABC = 135^{\circ} \). Это невозможно, так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \( 180^{\circ} \), и если один \( 90^{\circ} \), то другой тоже \( 90^{\circ} \).

Следовательно, \( 135^{\circ} \) — это внешний угол при одном из оснований, или угол при боковой стороне.

Пусть \( AB \) и \( CD \) — основания, \( AD \) и \( BC \) — боковые стороны. Трапеция прямоугольная, значит, один из углов прямой. Пусть \( \angle DAB = 90^{\circ} \).

Тогда \( AD \) — высота. Меньшая боковая сторона — \( AD \).

Пусть \( AB = 7 \) и \( CD = 4 \).

Другой угол при основании \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

Если \( \angle BCD = 135^{\circ} \), то \( \angle ABC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Проведём высоту \( CE \) из \( C \) на \( AB \). \( CE = AD \), \( EB = AB - AE = AB - CD = 7 - 4 = 3 \).

В прямоугольном \( \triangle CEB \): \( \angle CBE = 45^{\circ} \). Значит \( \triangle CEB \) — равнобедренный, \( CE = EB = 3 \).

Таким образом, высота \( AD = CE = 3 \).

Меньшая боковая сторона — \( AD = 3 \).

Ответ: 3.