19. Материальная точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 7t^2 + 6t + 1 \), где \( x \) — расстояние от точки отсчёта (в метрах), \( t \) — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени \( t = 6 \) с.

Решение:

Скорость материальной точки находится как производная от её положения по времени:

\( v(t) = x'(t) \)

Найдем производную от \( x(t) \):

\( x'(t) = \frac{d}{dt} \left( -\frac{1}{3}t^3 + 7t^2 + 6t + 1 \right) \)

\( x'(t) = -\frac{1}{3} \times 3t^{3-1} + 7 \times 2t^{2-1} + 6 \times 1t^{1-1} + 0 \)

\( x'(t) = -t^2 + 14t + 6 \)

Теперь найдём скорость в момент времени \( t = 6 \) с:

\( v(6) = -(6)^2 + 14(6) + 6 \)

\( v(6) = -36 + 84 + 6 \)

\( v(6) = 48 + 6 \)

\( v(6) = 54 \)

Ответ: 54 м/с.