12. В трапеции диагональ является биссектрисой угла ∠A и перпендикулярна боковой стороне, а угол ∠D = 60°. Периметр трапеции 20 см. Найти стороны трапеции.

Принимаем стандартное обозначение трапеции ABCD: основания AD и BC, диагональ AC, а боковая сторона, перпендикулярная диагонали, — CD. Тогда в треугольнике ACD угол C равен 90°, угол D — 60°, поэтому угол CAD равен 30°. Так как AC — биссектриса угла A, угол BAC также равен 30°.

В треугольнике ACD стороны относятся как CD : AC : AD = 1 : √3 : 2. Пусть CD = x, тогда AC = x√3 и AD = 2x. В треугольнике ABC углы A и C равны по 30°, значит AB = BC. По теореме синусов или соотношению сторон треугольника 30°–30°–120° получаем AB = BC = AC / √3 = x.

Периметр равен x + x + x + 2x = 5x = 20, откуда x = 4 см.

Ответ: AB = BC = CD = 4 см, AD = 8 см.