18. Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и 6, где a ≥ 6. Направляющие векторы диагоналей можно представить как (a, 6) и (a, −6). Для острого угла между диагоналями косинус равен (a² − 36) / (a² + 36). По условию он равен cos 60° = 1/2:

(a² − 36) / (a² + 36) = 1/2, откуда 2a² − 72 = a² + 36, значит, a² = 108.

Квадрат диагонали равен a² + 6² = 108 + 36 = 144, следовательно, диагональ равна 12.

Ответ: обе диагонали равны 12.