125. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңдар: 1) \(\frac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}\); 2) \(\frac{\sqrt{3\sqrt2-2\sqrt3}}{\sqrt{2\sqrt3+3\sqrt2}}\); 3) \(\frac4{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}\); 4) \(\frac{50}{3+\sqrt2-\sqrt{1+\sqrt2}}\).

1) \(y\ne0\) болатын анықталу облысында бөлшектің алымы мен бөлімін \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}\)-ке көбейтеміз:

\[\frac{y\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}}{\sqrt{x^2-(x^2-y^2)}}=\frac{y\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}}{|y|}.\]

2) Бөлшекті бір түбірге біріктіріп, бөлшек ішіндегі бөлімді түйіндес өрнекпен рационалдаймыз:

\[\sqrt{\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{2\sqrt3+3\sqrt2}}=\sqrt{\frac{(3\sqrt2-2\sqrt3)^2}{18-12}}=\sqrt{5-2\sqrt6}=\sqrt3-\sqrt2.\]

3) \(\sqrt{6+4\sqrt2}=2+\sqrt2\), өйткені \((2+\sqrt2)^2=6+4\sqrt2\). Сондықтан

\[\frac4{\sqrt2+2+\sqrt2}=\frac2{1+\sqrt2}=2(\sqrt2-1).\]

4) \(u=\sqrt{1+\sqrt2}\) деп алайық. Сонда \(u^2=1+\sqrt2\) және бөлім \(2+u^2-u\). Оны \((u+1)(u^2-u+2)\) көбейткішіне көбейтіп, әрі қарай ықшамдағанда

\[\frac{50}{2+u^2-u}=\frac{50(u+1)(u^2-u+2)}{(2+u^2-u)(u+1)(u^2-u+2)}.\]

Төменгі бөлімдегі көбейтінді \((u^2+2)^2-u^2=(u^2+1)(u^2+4)\)-ке тең. \(u^2=1+\sqrt2\) мәнін қойсақ, нәтижесі

Жауабы: 1) \(\frac{y}{|y|}\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}\); 2) \(\sqrt3-\sqrt2\); 3) \(2(\sqrt2-1)\); 4) \(\frac{50(u+1)(u^2-u+2)}{(u^2+1)(u^2+4)}\), мұнда \(u=\sqrt{1+\sqrt2}\).