126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: $\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$, $a>0$, $a^2>b>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: \(\sqrt{a\pm\sqrt…$ Фото задания

Accepted Answer

\[X=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2},\qquad Y=\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}\]

деп белгілейік. Берілген шарттар бойынша екі өрнектің де түбір астындағысы оң, демек $X,Y\ge0$. Қосындысы мен көбейтіндісін есептейміз:

\[X^2+Y^2=a,\qquad XY=\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}4}=\frac{\sqrt b}{2}.\]

Сондықтан

\[(X\pm Y)^2=X^2+Y^2\pm2XY=a\pm\sqrt b.\]

$X+Y\ge0$, сондай-ақ $X-Y\ge0$, өйткені $a+\sqrt{a^2-b}\ge a-\sqrt{a^2-b}$. Екі жақтың да теріс емес екенін ескеріп, квадрат түбір аламыз:

\[\sqrt{a\pm\sqrt b}=X\pm Y=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}.\]

Демек, екі формула да дәлелденді.

126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: \(\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}\), \(a>0\), \(a^2>b>0\).