21. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}$; 2) $\frac{a}{\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}-b\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}+\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}$; 2)…$ Фото задания

21. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}$; 2) $\frac{a}{\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}-b\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}+\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}}$.

Accepted Answer

1) Белгілейік: $A=n+2$, $R=\sqrt{n^2-4}$. Сонда

\[\frac{A+R}{A-R}+\frac{A-R}{A+R}=\frac{(A+R)^2+(A-R)^2}{A^2-R^2}=\frac{2(A^2+R^2)}{A^2-R^2}.\]

$A^2+R^2=2n(n+2)$, ал $A^2-R^2=4(n+2)$. Сондықтан өрнек $n$-ге тең. Облысы: $n\le -2$ немесе $n\ge2$, бірақ $n=-2$ кезінде бөлімдер нөл болады, сондықтан ол мән алынбайды.

2) Нақты мәндер үшін өрнектің облысы: $ab\ne0$ және $a^2>b^2$. Осыдан $\sqrt{1-b^2/a^2}=\sqrt{a^2-b^2}/|a|$, ал $\sqrt{a^2/b^2-1}=\sqrt{a^2-b^2}/|b|$. Ортақ бөлімге келтіргенде

\[\frac{a|a|}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{b|b|}{\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{b|b|}{\sqrt{a^2-b^2}}=\frac{a|a|}{\sqrt{a^2-b^2}}.\]

Жауабы: 1) $n$; 2) $\frac{a|a|}{\sqrt{a^2-b^2}}$.

21. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) \(\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}\); 2) \(\frac{a}{\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}-b\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}+\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}}\).

Ответ: