125. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и CB соответственно отмечены точки E и F так, что AE = CF. Докажите, что: а) △BDE = △BDF; б) △ADE = △CDF.

Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, AB = CB. По условию AE = CF. Вычитая равные отрезки из равных сторон, получаем BE = BF. Медиана BD делит основание пополам, поэтому AD = DC.

а) В треугольниках BDE и BDF равны BE и BF. Отрезок BD общий. Кроме того, BD — биссектриса угла ABC в равнобедренном треугольнике, поэтому ∠EBD = ∠DBF. Следовательно, △BDE = △BDF по двум сторонам и углу между ними.

б) В треугольниках ADE и CDF равны AD и DC, а также AE и CF. Поскольку E лежит на AB, а F — на CB, ∠DAE = ∠BAC и ∠DCF = ∠ACB. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, ∠DAE = ∠DCF. Следовательно, △ADE = △CDF по двум сторонам и углу между ними.