13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства \( 5x - x^2 \ge 0 \)?

Решение:

Решим неравенство \( 5x - x^2 \ge 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(5 - x) \ge 0 \]

Найдем корни уравнения \( x(5 - x) = 0 \):

\( x_1 = 0 \)

\( 5 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 5 \)

Получили точки \( x=0 \) и \( x=5 \). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 0] \), \( [0; 5] \) и \( [5; \infty) \).

Определим знак выражения \( x(5-x) \) на каждом интервале:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(5 - (-1)) = (-1)(6) = -6 < 0 \).
• При \( 0 < x < 5 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(5 - 1) = (1)(4) = 4 > 0 \).
• При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6)(5 - 6) = (6)(-1) = -6 < 0 \).

Нас интересует, где выражение \( \ge 0 \), то есть положительное или равно нулю. Это интервал \( [0; 5] \).

На рисунке №2 изображен именно этот интервал с закрашенными концами (включительно).

Ответ: 2