14. Камень бросают в глубокое ущелье. При первом броске он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду — на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии (расстояние, пройденное за первую секунду): \( a_1 = 13 \) м.

Разность прогрессии (на сколько увеличивается расстояние каждую секунду): \( d = 10 \) м.

Количество секунд (членов прогрессии): \( n = 5 \).

Нужно найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии \( S_n \).

Формула для нахождения \( n \)-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Найдем расстояние, пройденное за каждую секунду:

• 1-я секунда: \( a_1 = 13 \) м
• 2-я секунда: \( a_2 = 13 + 10 = 23 \) м
• 3-я секунда: \( a_3 = 23 + 10 = 33 \) м
• 4-я секунда: \( a_4 = 33 + 10 = 43 \) м
• 5-я секунда: \( a_5 = 43 + 10 = 53 \) м

Теперь найдем сумму этих расстояний:

\[ S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \]

\[ S_5 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 \]

\[ S_5 = 165 \text{ м} \]

Можно также использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

Сначала найдем \( a_5 \):

\[ a_5 = 13 + (5-1) \times 10 = 13 + 4 \times 10 = 13 + 40 = 53 \text{ м} \]

Теперь найдем \( S_5 \):

\[ S_5 = \frac{5}{2}(13 + 53) = \frac{5}{2}(66) = 5 \times 33 = 165 \text{ м} \]

Ответ: 165 м