13. Найти площадь прямоугольника ABCD, если P_ABC = 46 и BC − AB = 5.

Пусть AB = x, тогда BC = x + 5. По чертежу треугольник ABC прямоугольный при B, поэтому AC² = AB² + BC².

Из периметра треугольника AC = 46 − x − (x + 5) = 41 − 2x.

По теореме Пифагора: \(x^2+(x+5)^2=(41-2x)^2\). После упрощения получаем \(x^2-87x+828=0\).

Корни: \(x=\frac{87\pm3\sqrt{473}}{2}\). Подходит меньший корень, поскольку AC = 41 − 2x должно быть положительным: \(AB=\frac{87-3\sqrt{473}}{2}\), \(BC=\frac{97-3\sqrt{473}}{2}\).

Тогда \(S_{ABCD}=AB\cdot BC=3174-138\sqrt{473}\approx172.7\).

Ответ: \(3174-138\sqrt{473}\) квадратных единиц (примерно 172.7).