14. Найти площадь прямоугольника ABCD, если AD = 3AB, S_AMNC = 27; по чертежу M — середина BC, а точки A, M и N лежат на одной прямой.

Пусть AB = h. Тогда AD = 3h. Поскольку M — середина BC, его горизонтальное расстояние от стороны AB равно половине ширины прямоугольника. Прямая AMN поэтому пересекает вертикаль через C на высоте 2h от A, то есть NC = h.

Четырёхугольник AMNC вырождается в треугольник ANC, так как A, M и N лежат на одной прямой. Его площадь равна \(\frac12\cdot AD\cdot NC\). Следовательно, 27 = \(\frac12\cdot3h\cdot h=\frac32h^2\), откуда h² = 18.

Площадь прямоугольника: S_ABCD = AD · AB = 3h² = 54.

Ответ: 54.