13. Решить уравнение \( \cos^2 x + 6\cos x - 7 = 0 \)

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 6y - 7 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

Найдём корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \):

1. \( \cos x = 1 \). Общее решение этого уравнения: \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos x = -7 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в пределах от -1 до 1 (\( -1 \le \cos x \le 1 \)), а \( -7 \) выходит за эти пределы.

Следовательно, единственным решением является \( x = 2\pi n \).

Ответ: 2πη, η∈Z