13. Решите неравенство x² - 4x < 0.

Решение:

Для решения неравенства \( x^2 - 4x < 0 \) найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 - 4x = 0 \).

1. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x - 4) = 0 \).
2. Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
3. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 4) \) и \( (4; +\infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(x - 4) \) в каждом интервале:
• Для \( x < 0 \), например \( x = -1 \): \( -1(-1 - 4) = -1(-5) = 5 > 0 \) (плюс).
• Для \( 0 < x < 4 \), например \( x = 2 \): \( 2(2 - 4) = 2(-2) = -4 < 0 \) (минус).
• Для \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( 5(5 - 4) = 5(1) = 5 > 0 \) (плюс).
5. Нам нужно, где выражение меньше нуля. Это интервал \( (0; 4) \).

Ответ: (0; 4).