13. В треугольнике ABC углы А и С равны 30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Задание 13

Решение:

1. Найдем угол \( B \) в треугольнике \( ABC \): \( \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ \).
2. \( BH \) — высота, значит, \( \angle BHA = 90^\circ \).
3. В прямоугольном треугольнике \( ABH \) найдем угол \( ABH \): \( \angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
4. \( BD \) — биссектриса угла \( B \), значит, она делит угол \( B \) пополам: \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ \).
5. Найдем угол между высотой \( BH \) и биссектрисой \( BD \): \( \angle HBD = \angle ABD - \angle ABH = 50^\circ - 60^\circ \).
6. Так как угол не может быть отрицательным, мы находим разницу абсолютных значений: \( \angle HBD = |50^\circ - 60^\circ| = |-10^\circ| = 10^\circ \).

Ответ: 10°