130. В треугольнике ABC AB = 7 см, BC = 15 см, AC = 11 см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису BD?

Пусть I — центр вписанной окружности. Он лежит на биссектрисе BD. Обозначим \(\angle B=2\beta\), а радиус вписанной окружности — r. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой из I к стороне AB, \(BI=\frac{r}{\sin\beta}\).

Полупериметр равен \(s=\frac{7+15+11}{2}=16.5\). Площадь по формуле Герона: \(S=\sqrt{16.5\cdot9.5\cdot1.5\cdot5.5}=\frac{33\sqrt{19}}{4}\), поэтому \(r=S/s=\frac{\\sqrt{19}}{2}\).

По теореме косинусов \(\cos B=\frac{7^2+15^2-11^2}{2\cdot7\cdot15}=\frac{3}{5}\), следовательно \(\sin\beta=\sqrt{\frac{1-\cos B}{2}}=\frac{1}{\sqrt5}\). Значит, \(BI=\frac{\sqrt{95}}{2}\).

Длина биссектрисы из B: \(BD=\frac{\sqrt{AB\cdot BC((AB+BC)^2-AC^2)}}{AB+BC}=\frac{\sqrt{7\cdot15(22^2-11^2)}}{22}=\frac{3\sqrt{105}}{2}\).

Тогда \(ID=BD-BI=\frac{3\sqrt{105}-\sqrt{95}}{2}\), и

Ответ: \(BI:ID=\sqrt{95}:(3\sqrt{105}-\sqrt{95})\).