131. На медиане AD треугольника ABC отметили точку F так, что AF : FD = 7 : 4. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?

Question

Вопрос:

131. На медиане AD треугольника ABC отметили точку F так, что AF : FD = 7 : 4. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?

Accepted Answer

Пусть прямая BF пересекает AC в точке E. Применим теорему Менелая к треугольнику ADC и секущей B–F–E, учитывая, что D — середина BC. Удобно использовать координаты: положим A=(0,0), C=(2,0), D=(1,h), тогда B=(0,2h). Из \(AF:FD=7:4\) следует \(F=(7/11,7h/11)\).

Прямая BF пересекает ось AC при параметре \(t=14/15\) на линии от B к F, что даёт координату пересечения \(x=14/15\). Поэтому \(AE:EC=(14/15):(2-14/15)=14:16=7:8\).

Ответ: 7:8.