135. В остроугольном треугольнике АВС высота АН равна 13√7, а сторона АВ равна 52. Найдите cosB.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - остроугольный} \]
• \[ AH \perp BC \]
• \[ AH = 13\sqrt{7} \]
• \[ AB = 52 \]

Найти:

• \[ \cos B \]

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABH, по определению косинуса:

• \[ \cos B = \frac{BH}{AB} \]

Используем теорему Пифагора для \[ \triangle ABH \] чтобы найти BH:

• \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
• \[ 52^2 = (13\sqrt{7})^2 + BH^2 \]
• \[ 2704 = 13^2 \times 7 + BH^2 \]
• \[ 2704 = 169 \times 7 + BH^2 \]
• \[ 2704 = 1183 + BH^2 \]
• \[ BH^2 = 2704 - 1183 \]
• \[ BH^2 = 1521 \]
• \[ BH = \sqrt{1521} \]
• \[ BH = 39 \]

Теперь найдем \[ \cos B \]:

• \[ \cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{39}{52} \]
• \[ \cos B = \frac{39 \div 13}{52 \div 13} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

Ответ: 0.75