136. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=35, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin∠ABC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 35 \]
• \[ CH \perp AB \]
• \[ CH = 14\sqrt{6} \]

Найти:

• \[ \sin \angle ABC \]

Решение:

В прямоугольном треугольнике ACH, по теореме Пифагора:

• \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
• \[ 35^2 = AH^2 + (14\sqrt{6})^2 \]
• \[ 1225 = AH^2 + 196 \times 6 \]
• \[ 1225 = AH^2 + 1176 \]
• \[ AH^2 = 1225 - 1176 \]
• \[ AH^2 = 49 \]
• \[ AH = \sqrt{49} = 7 \]

Гипотенуза AB равна сумме отрезков AH и HB:

• \[ AB = AH + HB \]

Также в прямоугольном треугольнике ABC:

• \[ AC^2 = AH \times AB \]

Подставляем известные значения:

• \[ 35^2 = 7 \times AB \]
• \[ 1225 = 7 \times AB \]
• \[ AB = \frac{1225}{7} \]
• \[ AB = 175 \]

Теперь найдем \[ \sin \angle ABC \] в прямоугольном треугольнике ABC:

• \[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{35}{175} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{35 \div 35}{175 \div 35} = \frac{1}{5} = 0.2 \]

Ответ: 0.2