137. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=52, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 26√3. Найдите sin∠ABC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 52 \]
• \[ CH \perp AB \]
• \[ CH = 26\sqrt{3} \]

Найти:

• \[ \sin \angle ABC \]

Решение:

В прямоугольном треугольнике ACH, по теореме Пифагора:

• \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
• \[ 52^2 = AH^2 + (26\sqrt{3})^2 \]
• \[ 2704 = AH^2 + 26^2 \times 3 \]
• \[ 2704 = AH^2 + 676 \times 3 \]
• \[ 2704 = AH^2 + 2028 \]
• \[ AH^2 = 2704 - 2028 \]
• \[ AH^2 = 676 \]
• \[ AH = \sqrt{676} = 26 \]

В прямоугольном треугольнике ABC, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

• \[ AC^2 = AH \times AB \]

Подставляем известные значения:

• \[ 52^2 = 26 \times AB \]
• \[ 2704 = 26 \times AB \]
• \[ AB = \frac{2704}{26} \]
• \[ AB = 104 \]

Теперь найдем \[ \sin \angle ABC \] в прямоугольном треугольнике ABC:

• \[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{52}{104} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Ответ: 0.5