138. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найдите sin∠ABC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 75 \]
• \[ CH \perp AB \]
• \[ CH = 9\sqrt{69} \]

Найти:

• \[ \sin \angle ABC \]

Решение:

В прямоугольном треугольнике ACH, по теореме Пифагора:

• \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
• \[ 75^2 = AH^2 + (9\sqrt{69})^2 \]
• \[ 5625 = AH^2 + 81 \times 69 \]
• \[ 5625 = AH^2 + 5589 \]
• \[ AH^2 = 5625 - 5589 \]
• \[ AH^2 = 36 \]
• \[ AH = \sqrt{36} = 6 \]

В прямоугольном треугольнике ABC, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

• \[ AC^2 = AH \times AB \]

Подставляем известные значения:

• \[ 75^2 = 6 \times AB \]
• \[ 5625 = 6 \times AB \]
• \[ AB = \frac{5625}{6} \]
• \[ AB = 937.5 \]

Теперь найдем \[ \sin \angle ABC \] в прямоугольном треугольнике ABC:

• \[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{75}{937.5} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{750}{9375} \]
• \[ \sin \angle ABC = \frac{750 \div 187.5}{9375 \div 187.5} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} = 0.08 \]

Ответ: 0.08