14) (3 балла) Найдите экстремумы функции у(х) = 2x³-3x² - 12x + 5 выяснить их род.

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её первую производную, приравнять её к нулю и решить получившееся уравнение. Затем проверить вторую производную.

1. Найдём первую производную функции \( y'(x) \):
   \( y'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5)' \)
   \( y'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \)
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:
   \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \)
   Разделим на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
   \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)
3. Найдём вторую производную функции \( y''(x) \):
   \( y''(x) = (6x^2 - 6x - 12)' \)
   \( y''(x) = 12x - 6 \)
4. Проверим точки на экстремум с помощью второй производной:
   
   • При \( x = 2 \): \( y''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 \). Так как \( y''(2) > 0 \), в точке \( x = 2 \) — локальный минимум.
   • При \( x = -1 \): \( y''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 \). Так как \( y''(-1) < 0 \), в точке \( x = -1 \) — локальный максимум.
5. Найдем значения функции в точках экстремума:
   
   • При \( x = 2 \): \( y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 2(8) - 3(4) - 24 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = 4 - 24 + 5 = -20 + 5 = -15 \)
   • При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 2(-1) - 3(1) + 12 + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = -5 + 17 = 12 \)

Ответ: Локальный максимум в точке \( x = -1 \), \( y_{max} = 12 \). Локальный минимум в точке \( x = 2 \), \( y_{min} = -15 \).