14. а) Решите уравнение \(\cos 2x+3\sin x=2\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-2\pi; -\pi/2]\).

а) Используем тождество \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(1-2\sin^2 x+3\sin x=2\), поэтому \(2\sin^2 x-3\sin x+1=0\).

Разложим на множители: \((2\sin x-1)(\sin x-1)=0\). Следовательно, \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\).

Отсюда \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\) этим сериям соответствуют корни \(-\frac{11\pi}{6}\), \(-\frac{7\pi}{6}\) и \(-\frac{3\pi}{2}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\). б) \(-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}\).