18. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. а) Докажите, что $CH^2=AH\cdot BH$. б) Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACH$ и $BCH$, если $AC=15$, $BC=20$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 18. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. а) Докажите, что \(CH^2=AH\cdot…$ Фото задания

18. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. а) Докажите, что $CH^2=AH\cdot BH$. б) Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACH$ и $BCH$, если $AC=15$, $BC=20$.

Accepted Answer

а) Треугольники $ACH$ и $BCH$ подобны: у них по одному прямому углу, а острые углы попарно равны. Из подобия следует $\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{BH}$, откуда $CH^2=AH\cdot BH$.

б) Гипотенуза исходного треугольника: $AB=\sqrt{15^2+20^2}=25$. Проекции катетов на гипотенузу равны $AH=\frac{AC^2}{AB}=9$ и $BH=\frac{BC^2}{AB}=16$. Высота $CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=12$.

У треугольника $ACH$ стороны 9, 12 и 15, поэтому радиус вписанной окружности равен $r_1=\frac{9+12-15}{2}=3$. У треугольника $BCH$ стороны 12, 16 и 20, поэтому $r_2=\frac{12+16-20}{2}=4$.

Расположим $H=(0,0)$, $A=(-9,0)$, $B=(16,0)$, $C=(0,12)$. Центры вписанных окружностей имеют координаты $(-3,3)$ и $(4,4)$. Расстояние между ними: $\sqrt{(4+3)^2+(4-3)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$.

Ответ: а) доказано; б) $5\sqrt2$.