20. Есть 12 монет по 2 рубля и 21 монета по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 127 рублей? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 128 рублей? в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 135 рублей включительно?

а) Да: \(11\) монет по 2 рубля и \(21\) монета по 5 рублей дают \(11\cdot2+21\cdot5=22+105=127\) рублей.

б) Нет. Если взять \(b\) пятирублёвых монет, то число двухрублёвых монет должно удовлетворять \(2c+5b=128\). Из чётности следует, что \(b\) чётно. При максимальном допустимом чётном числе \(b=20\) потребуется \(c=(128-100)/2=14\) двухрублёвых монет, а их есть только 12. При меньшем \(b\) потребуется ещё больше двухрублёвых монет.

в) Пусть добавлено \(n\) однорублёвых монет. Для набора любой суммы от 1 рубля нужно, в частности, иметь монету в 1 рубль, значит \(n\ge1\). При наличии этих монет суммы можно набирать без пропусков вплоть до общей суммы \(n+12\cdot2+21\cdot5=n+129\): после однорублёвых монет номинал 2 не создаёт разрыва, а номинал 5 также не создаёт его, поскольку уже доступная сумма не меньше 24. Чтобы достигнуть 135 рублей, необходимо \(n+129\ge135\), то есть \(n\ge6\). Шести монет достаточно.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6 монет.