19. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x^2-2x-3|=a(x+2)\) имеет ровно два различных корня.

Положим \(t=x+2\), где \(t\ne0\), поскольку при \(t=0\) равенство невозможно. Тогда выражение под модулем равно \(t^2-6t+5\), а уравнение задаёт значения функции \(a=\frac{|t^2-6t+5|}{t}\).

При \(t<0\) правая часть функции равна \(t-6+\frac5t\). Её наибольшее значение равно \(-6-2\sqrt5<0\); соответствующие горизонтальные уровни дают ровно два решения при \(a<-6-2\sqrt5\).

При \(t>0\) значения функции неотрицательны. При \(a=0\) уравнение имеет два решения \(t=1,5\). При \(a>0\) внешние ветви дают по одному решению каждая; между ними функция имеет максимум \(6-2\sqrt5\). Поэтому ровно два решения получаются при \(a>6-2\sqrt5\). При равенстве этому порогу добавляется ещё одно решение, а при меньших положительных значениях решений четыре.

Ответ: \(a=0\) или \(a>6-2\sqrt5\).