15. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) все рёбра равны 6. Точка \(M\) — середина бокового ребра \(SC\). а) Докажите, что прямая \(SA\) параллельна плоскости \(BDM\). б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(BDM\).

а) В треугольнике \(SCA\) боковые рёбра равны: \(SC=SA\). Так как \(M\) — середина \(SC\), а диагонали квадрата пересекаются и делятся пополам в центре основания, можно также рассмотреть координаты: пусть центр квадрата — начало координат, \(A=(3,3,0)\), \(B=(3,-3,0)\), \(C=(-3,-3,0)\), \(D=(-3,3,0)\), \(S=(0,0,3\sqrt2)\). Тогда \(M=(-\frac32,-\frac32,\frac{3\sqrt2}{2})\). Направляющий вектор \(SA=(3,3,-3\sqrt2)\) лежит в направлении плоскости \(BDM\), то есть \(SA\parallel (BDM)\).

б) Плоскость пересекает пирамиду по треугольнику \(BDM\): она проходит через ребро \(BD\) и точку \(M\) на ребре \(SC\). В выбранных координатах \(\overrightarrow{BD}=(-6,6,0)\), \(\overrightarrow{BM}=(-\frac92,\frac32,\frac{3\sqrt2}{2})\). Площадь треугольника равна половине модуля их векторного произведения; его модуль равен \(18\sqrt2\). Поэтому \(S_{BDM}=9\sqrt2\).

Ответ: а) \(SA\parallel (BDM)\). б) \(9\sqrt2\).