14. ABCD — прямоугольник, AB = 8, AD = 12. Найдите sin α, cos α, tg α, ctg α.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке O и делятся пополам. Поэтому \(AO=\frac{AC}{2}\), \(BO=\frac{BD}{2}\), а диагонали равны: \(AC=BD\). Следовательно, \(AO=BO\), и треугольник AOB равнобедренный.

Угол \(\alpha=\angle AOB\), обозначенный на рисунке слева между диагоналями. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половинами сторон прямоугольника, отношение горизонтального и вертикального катетов равно \(12:8=3:2\). Для угла между диагоналями слева получаем противолежащий катет, пропорциональный 3, и прилежащий, пропорциональный 2; гипотенуза пропорциональна \(\sqrt{13}\).

Значит, \(\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\), \(\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\), \( g\alpha=\frac32\), \(\ctg\alpha=\frac23\).

Ответ: \(\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13},\ \cos\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13},\ g\alpha=\frac32,\ \ctg\alpha=\frac23\).