9. В прямоугольном треугольнике ABC (∠M = 90°), MN ⟂ AC, cos ∠B = 1/3. Найдите AN/CN.

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза — AC. По определению косинуса:

\(\cos B=\frac{BC}{AC}=\frac13\), поэтому \(BC=\frac{AC}{3}\).

Для высоты, опущенной на гипотенузу, проекция катета BC равна \(CN=\frac{BC^2}{AC}\). Тогда

\(CN=\frac{(AC/3)^2}{AC}=\frac{AC}{9}\), а \(AN=AC-CN=\frac{8AC}{9}\).

Следовательно, \(\frac{AN}{CN}=\frac{8AC/9}{AC/9}=8\).

Ответ: 8.