14. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Решение:

Теорема: Если два угла треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Предположим, что углы ∠B и ∠C равны (\( \angle B = \angle C \)).
2. Мы хотим доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть стороны, противолежащие равным углам, равны (\( AB = AC \)).
3. Проведем биссектрису AD из вершины A к основанию BC.
4. По построению, биссектриса делит угол ∠A пополам: \( \angle BAD = \angle CAD \).
5. Теперь рассмотрим два треугольника: \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \).
6. У нас есть:
   • \( \angle B = \angle C \) (по условию).
   • \( \angle BAD = \angle CAD \) (по построению биссектрисы).
   • Сторона AD является общей для обоих треугольников (\( AD = AD \)).
7. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), \( \triangle ABD = \triangle ACD \).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AB = AC \).
9. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным по определению (треугольник, у которого две стороны равны).

Вывод: Теорема доказана.