16. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство суммы углов треугольника:

Теорема: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
2. Через вершину A проведем прямую DE, параллельную основанию BC.
3. Углы ∠BAC, ∠DAB и ∠EAC являются смежными, их сумма равна 180° (если бы точка A лежала на прямой). Но здесь ∠BAC — это угол треугольника.
4. Так как прямая DE параллельна BC, то:
   • Угол ∠DAB равен углу ∠B (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и BC и секущей AB).
   • Угол ∠EAC равен углу ∠C (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и BC и секущей AC).
5. Рассмотрим сумму углов ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC. Поскольку это углы, образованные прямой DE, их сумма равна 180°.
6. Заменяя ∠DAB на ∠B и ∠EAC на ∠C, мы получаем: \( \angle B + \angle BAC + \angle C = 180° \).
7. Таким образом, сумма углов треугольника ABC (\( \angle A + \angle B + \angle C \)) равна 180°.

Вывод: Теорема доказана.